введении теорем сходимости для итерационных процессов, которые устанавливают
простые критерии сходимости последовательностей н рядов матриц.
Система линейных уравнений легко решается, еели сё матрица днагональная.
В П1.3.2 мы видели, что вектор-столбец матрицы`является преобразованием век-
тора-базнса, выраженным в том же базисе. Если, например е являстся также соб-
стнеп‹дини вектором, соответствующим собственному значению Л, мы имеем:
м, == ^
и компоненты Аеу в базисе (, еа .--, ©) суть (& , ..., 0).
При этом рассмотрении учитывается теорема: матрица А из &* может быть
приведена к днагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис
в Ж", построенный на собственных векторах матрицы А.
Конечно, приведение к днагональному 
виду не всегда возможно, но матрица
всегда может быть приведена к треугольной форме, т. е. только 
с нулями вышеди;
тонали, или только с нулями ниже днагонал
В треугольной форме система решается очемь просто: 1 
если все собственные
значения матрицы А различны, то она может быть приведена к днагональному.
виду; 9) если действительная матрица симметрична, она всегда может быть при-
ведена к диагональному виду, даже когда собственные значения ие отличаются друг`
от 
друга. Кроме того, ее собственные векторы ортогональны,
‘ритерии сходимости излагаются в следующем разделе,
П.3.5. Нормы векторов и матриц.
В П.3.1 введена норма вектора И 
(х!, 
..., ") как | И | = (!* -- .. + аи 
—
Впрочем, это эвклидова норма вектора Й и она, наиболее сстественно, прямо выте-
кает из теоремы Пифагора. Другие нормы могут быть вредены следующим образом:
’ 
= Эи
ТУ1.
Все нормы `удовлетворяют соотношениям:
171>0 1И1=0(=) 
У =0,
1У 
= ЭИГ для всех скаляров Л, 
(п.3.7)
и + 91 < 1 
1 --1 9) ера
`Таким же образом норма матрицы А определяется соотношениями:
А1> 
0 
14 =0(=) л=0
ПАА =|А|ЛА| лля всех скаляров й
ТА -- В < 1 А1--ВЬ 
(П.3.8)
ЦАВ 
| < ТА|ЦВ .
Теперь рассмотрим матрицу. А 
порядка м. Определим два 
типа норм А.
1. Назовем норму матрицы А (подчиненной векторной_норме | И |) положи
тельное число | А , определенное выражением:
А | = зир | АУ |.
1А 
- 
АЛАИ
ир |х'|.
‘иство треугольника)
ЦА | удовлетворяет соотношениям (П.3.8). Очевидно, мы имеем: 
| АУ | < ТАШИ
(неравенство 
Шварца). Матричная и векторная нормы, для которых спра
‘ливо неравенство 
Шварца, являются согласованными. Матричная 
корма, 
под
ненная эвклидовой векторной норме, называется спектральной нормой.
284