і
.
нанта. Другой важной оеобенностью детерминантов является то, что онн необхо
'димы для расчета собственных значений и собстоенных векторов матрицы, кото-
рые определены. в П!.3.4.
Замечание. В иекоторых очень простых случаях (лва уравнения © двумя
нензвестными, как показано) детерминант может 
быть прямо использован для.
вычисления` решения. Это почти не имеет место в наших задачах загрязнения..
.3.4. Собственные значения и собственные
векторы матрицы порядка л.
Для любой матрицы М существует вектор. И 
(отличный от нулевого вектора)
н число & такие, что
мИ, = мУЬ 
(П.3.5)
тде И, — собственный вектор М, соответствующий собственному значению й.
Любому собственному вектору И, соответствует едниственное вначение М.
«Любым собственным значениям & соответствуют одни нли несколько собственных
векторов, которые образуют векторное подпространство в Ж", называемое собст-
венным._подпространством, соответствующим М.
`Матрица порядка л имеет самое большее л различных собственных значений.
Уравнение (П.3.5) может быть записано так:
(м—3) 
И, = 0. 
(П.3.6)
Компонентами И, являются (&!, ..., "), а 
компонентами векторов-столбцов
матрицы М — М! будут (А,, ..., А,). Из (П.3.6)
*А, 
«А 
=0,
из чего следуст, что ,, ., Ая зависимы. Таким ` образом, 
матрица 
М—йД.
вырожденная и ме имеет' обратной.
Отсюда следует, что детерминант М—й! равен 
нулю; собственные значе-
ния матрицы М являются корнями полиноминального уравнения. относительно й:
а —^
Че! (М 
— М 
0 или
Пример:
42
м_|2 „р м-М 
| 
е
4е (М —М) = (4—No)* 
— 4 = 0 = (6 —) (2— й).
Собственные значения равны 6 н 2. Компонентысобствениых векторов удовлетво-
ряют системам
А_б[Ах‹]-гу З 
{4х+2ц=2‹
— |2х +- 4у = бу, 
2х -}- 4у = ду.
Соответствующими собственными векторами являются все векторы, прппогцип—
1
1
нальные, соответственно _ 
=|| | дя собственного значения 6 и И 
‚
‚для собственного значения Э. Мы удостоверились, что обе системы имеют беско-
нечное число решений, 
так как М—-М вырожденная матрица.
_Для нашей задачи польза понятий собственных значений и собственных век-
торов заключается: 1) в возможности упрощения систем 
линейных уравнений, 2) во
283