Отсюда видно, что изменение системы координат может быть определено с помощью.
матричной системы, подобной (11.3.4). При этом столбцы матрицы являются. пре-
образованиями векторов старого базнса (эдесь Ё и Е, выраженными. в том же
старом базнсе,(е,, ). Этот результат может быть обобщей на 
изменения неортонор-
мированного базиса в А'
`Полезность` матричной теории теперь становится очевидной: она является
систематическим представлением системы линейных уравнений н дает правила и
теоремы, которые могут быть использованы для рёшения системы, Углубимся
в теорию квадратных матриц введением суммы, 
произведения и обращения ма>
триц.
В дальнейшем мы 
пользуемся правилом Эйнштейнц
нидексиров; 
когда верхний и нижний индексы_ являются одной и
той же буквой, с 
нне ‘соответствующих произведений должно произво-
диться по общему индексу:
: в случае произведения.
‚):‘д{"/_"б”/“ 
+ ®)
я©
У (2"‘“4)"‚ =*'а1е) (( 
1, о; 
1 ооп
ВЛа
Рассмотрим матрицу А порядка л, заданную ее коэффициентами (а), и ска
ляр А; определим произведение ЯА как матрицу с коэффициентами (24).
Пример:
Го2
2›<[З 4|
х 2›‹2[ 
2 
4
2х3 2х4 
6 в]'
Рассмотрим две матрицы А м! В порядка л, заданные их коэффициентами: («!)
и (2), н вектор Х из Ж", заданный его компонентами (х!) на базнсе (е,,
Применим 
А 
и В к Х, что дает два вектора 
у и Жу нз В, 
н расс:
трическую сумму 2 из Х, н Хь Сумма А и 
В есть матрица ©
рядка л, определенная’ Зависимостями:
Ху= АХ, Х, 
= В,
# = Х, + Х, = АХ + ВХ = 
(А - В)Х = СХ,
‘что дает коэффиииенты (е}) матрицы © на базисе (, „.. ед). Используя определе-
мне произведения матрицы на скаляр и уравнение (П.3.2), получи
Х=хер Х, = Ак = че Х, = аЫ,
# = а) -- о'Ы = к(а 
+ Б)е, = жойе,
ер
ер=а| Ы.
Пример:
19 
5 6 
145 2+6] 
[6 
8
= 
в 
с= 
3 
..
: [3 4]' 
о81 
ВН 
[з+7 48 
[ю 12]'
Рассмотрим снова матрицы А и В ивектор Х; применим А к Ж, что дает Х1»
и Вк ,, 
что дает У. Произведение В на А есть матрица Ю == ВА порядка л,
определенная соотношениями:
Х, = АХ, К = ВХ, = ВАХ 
= ОХ,
279