где е; (& /) и с» (, ) — концентрации в моменты времени & и & (& — & = А в точках ( /), а ©* (, ) — промежуточное зна- чение, которое не имеет физического смысла. Для ускорения реше- ния вычисляем с* для всех строк & методом трехдиагонального исключения Гаусса. При этом предполагается, что с, известно, а са рассчитывается для каждого столбца / также методом трехдиа» гонального исключения Гаусса. Можно показать, что НМИН схо- дится и безусловно устойчив. 9.4.5. Некоторые трудности конечно-разностных аппроксимаций Конечно-разностные методы легки в обращении, иногда быстры. и обычно хорошо известны. Но при численном решении задач дисперсии возникают два затруднения, которые не преодолены до сих пор. Это «всплеск» и численная дисперсия. 1. «Всплеск». Рассмотрим запуск загрязнителя при скач- кообразном изменении единичной концентрации на входе в одно- мерный поток, описываемый уравнением: дс = - Сравнение аналитического и численного решений на момент вре- мени ё приводится на рис. 9.4.4. Очень часто оказывается, что вычисленная методом конечных разностей концентрация превышает точную величину вблизи оси ©. Этот отскок известен под названием «всплеска». Он может быть объяснен тем, что временные шаги и пространственные ‚размеры плохо согласованы и водоносный горизонт не может численно «абсорбировать» запущенную массу загрязнителя. Временные шаги следует подбирать осторожно и приспосабливать к задаче. Часто, принимая приращение во времени равным общему члену теометрической прогрессии (А/, = а А при 1 <а < 9), можно добиться сглаживания «всплеска». Например, Шамир и Харле- мен [247] в некоторых своих задачах использовали а = 1,3. Рекомендуется исследовать некоторую модель при скачкооб- разном изменении единичной концентрации на входе, чтобы со- гласовать шаги по времени и пространству прежде чем использо- вать ее при обычных граничных условиях. 2. Численная дисперсия. Рассмотрим запуск загрязнителя при скачкообразном изменении единичной концен- трации на входе в одномерный поток: д°с ка — , Примем К — 0. Аналитическое и численное решения для момента времени # дано на рис. 9.4.5. 245