Обозначая через Р трехдиагональную матрицу, строки которой
образованы коэффициентами
КА 
иМ 
9 _ „Ка о КЫ
ав Ра аба аа”
отнечаем, что Р, М =1— 
Р и No= 
1 + -)- Р имеют одни
и те же собственные векторы, из чего следует, что (1 — Р/2)"*
и М”\М имеют те же собственные векторы, что и Р. Поскольку р —
соответствующее собственное значение матрицы Р, 
1 — р/2 и
1 + р/2 — соответствующие собственные значения матриц М и М,
то соответствующим собственным значением @ итерационной ма-
трицы М”*No будет:
О 
ЕВЙ,
Согласно теореме Гершгорина, собственные значения матрицы
Р заключены в интервале 
[—2 {( АНАх) + 2 (К АНАх?)|, 0]
и являются отрицательными, из чего видно, что |а| меньше 1.
Аппроксимация Кранка—Николсона безусловно устойчива.
9.4.4. Неявный метод переменных направлений (НМПН)
Когда моделируемая двумерная область прямоугольна или по
меньшей мере правильная (выпуклая, например), решение часто
может быть получено с помощью НМПН, введенного Писманом и
Рэшфордом. Этот метод имеет большое преимущество: вместо рас-
чета обратной общей мат;ицы расчитываются две обратные трех-
днагональные матрицы. 
Рассмотрим НМПН на простом примере.
Запишем уравнение дисперсии:
д%с 
д 
де. 
де.
Кеаа Е Кга — ак —аг°
Аппроксимация этого уравнения на одном временном шаге состонт
в разделении этого временного шага на два и в выражении произ-
водных по х неявно, а производной по у явно для первой половины
временного шага, Для второй половины временного шага произ-
водные по х выражаются явно, а производная по у неявно:
с* 
(Е+1, 
) — 2с* 1, 
Р + с* ((—1, )) 
+(1, ) — с*(#—1)
оЕНЕИ 
оЗЕНЫЕ ОЛа
()ар —ка( 1+1) —а( )+а( 11
ЭСОВСОНРНВОР 
АНО 
Р 
ОРОНЕОЕЩЕР 
Ц
ч 
АГЭ 
К; 
Га
с (6, 1 + 1) — 2е (, ) -ва (, 1 
_ 
( р —е* ()
2) Кт 
А 
# 
^ 
5я
ее (Н, — 2е (, рнр ор ЕЬ
снама отооеланисет 
т сивоютеиееоисовий ои 
лОО
244