9.4.3. Устойчивость и 
е
сходимость аппроксимаций
Цель аппроксимации — по-
лучить оценку концентрации в
момент времени #, по известной
концентрации в 
момент време-
ни 4. Необходимо, 
чтобы 
эта
оценка была близкой в некото-
ром смысле * 
к точному реше- 
й
нию — уравнения — дисперсии, 
0 
& 
ё
(9.4.4) например, 
что требует — Рис. 9.4.3. Аппроксимация Кранка——
соблюдения двух условий при — Николсона
использовании аппроксимаций:
устойчивости и сходимости. Как и 
раныше, 
назовем с (х, )—
вычисленным решением и * (, /) — точным решением уравнения
дисперсии. Полагаем & — 4 = М.
Определение сходимости, 
Конечно-разностная
аппроксимация сходится, если разность между % (х, )) 
и с (х, )
стремится к, нулю, когда Ах и А# стремятся к` нулю при данных
х 
*
Определение устойчивости. 
Когда время из-
меняется, вычисляется с (х, 
# +- А0) по с (х, ). Этот: итерацион-
ный процесс имеет смысл, если разность между у (х, ) и с (х, )
ограничена 
в 
некотором — смысле, 
при 
# -+ со для 
данных
Ах и А. Если это условие соблюдается, аппроксимация устой-
чива,
Допустим, что рассмотренные выше аппроксимации сходятся,
и исследуем их устойчивость. Необходимо отметить, что устойчи-
вость и сходимость взаимосвязаны и (это можно доказать) при над-
лежащих условиях эквивалентны.
Выводы по устойчивости приводятся на основе кратких грубых
доказательств, главной целью которых является объяснение того,
как пользоваться основными теоремами раздела 9.1 в практиче-
ских задачах.
1. Явная аппроксимация. 
Уравнение (9.4.6) за-
писывается для промежутка времени между /, и ё„‚ при разбивке
* «Близость» двух функций зависнт от вида нормы, принятой дая. функ-
ционального пространства, к которому эти функции принадлежат. В данной книге
эта задача детально не рассматривается; напомним только, что самые обычные
519 ль = | [ в е а] нли
&
нормы в нашем случае имеют вид 1/.
1/
жительным числом 1/ — #-
[7 9) ах. Близость / и @ тогда определяется действительным поло-
241