Определение. Матрица М называется приводимой, если
существуют перестановки строк и столбцов (обычно различные)
такие, что результирующее построение М принимает форму:
А 
0
в 
с
где А, В, С — квадратные матрицы меньшего порядка и О — нуле-
вая матрица. В противном случае М называется ` неприводимой
матрицей.
Тео’рема 
2. 
Диагонально доминирующая неприводимая
матрица М/регулярна. Здесь приводится краткое доказательство
‚для случая, когда М является строго диагонально доминирующей
матрицей, т. е
111> 5141 м& 
(9.1.9)
Тогда нет необходимости предполагать неприводимость матрицы
М. Общее доказательство см. у Форсайта и Вазова 192 
].
Доказательство. 
Предположим, что М нерегулярна.
Ее векторы-столбцы не являются независимыми:
аафа -- ок -- айх” == 0 для всех @.
Положим:
** = зир|х'
Число х' конечно, таким образом х, — одно из х', Из выражения
@ 
неко - оао ЦЕОЛЕ
получим:
айк 
< У Тее 2 [а < У ай
ь 
КЗ
что противоречит (9.1.9). Следовательно, М регулярна, что требо-
валось доказать,
Теорема 3 (теорема Гершгорина). Собствен-
ные значения матрицы М = (а) заключены в пределах области Г,
которая определяется как объединение всех кругов с центрами а;
и соответственно с радиусами 3 | а |. Эта теорема является прямым
Е
следствием теоремы 2: М — М является особой матрицей, когда
No — собственное значение М. Таким образом, Э:
1а — ^| 
< 3 1/
л
8* 
227