где х‚ — фиксированные данные числа. Таким образом: [^ " &* | — оо при т —› со Последовательность не сходится к Х; значение Х, не может быть выбрано наугад. Достаточное условие: пусть известно, что Х существует и удо- влетворяет АХ == В или Х = МХ + В. Сходится ли последова- тельность Х, когда все собственные значения по абсолютной величине меньше 1? Х — Хаи= М"НЦХ — Х) = МРЖНИ аь тде # == 1, ..., р и @; — индексы собственных векторов, соответ- ствующих собственным значениям ^,. Суммирование производится по ё и @. Вводя норму, определенную в приложении 1Ш, имеем: |Х — Хаа < 13 ХУ ). Эта конечная сумма стремится к нулю при т -> со, если |,| < 1. Тогда последовательность Х,„ стремится к Х. Значение теоремы 1. Значение этой теоремы заключается в том, что Х, может быть выбрано наугад. Теоретически сходи- мость может быть получена выбором Х — Х, (в собственном под- пространстве), соответствующих собственным значениям меньше 1 по абсолютной величине. Практически такой выбор невозможен по двум причинам: 1) обычно ничего не известно о решении Х, которое отыскивается; 2) при машинном счете во всех собственных. векторах в виде малых компонент присутствуют погрешности округления, вследствие чего последовательность может потерять сходимость. Замечание. Простой расчет для примера в разделе 9.1.4 дает значения —- А, й, == 0,5 и No, = 3,5. Начальный вектор Х) был выбран так, что Х — Х, принадлежало подпространству, соответствующему М, = 0,5 (Х — вектор решения х = 1,6 и у == = —2,4). Читатель может легко проверить, что процесс расхо- дится, если Х, — Х имеет компоненты в собственном подпростран- стве, соответствующие , = 3,5. (Например для хо = 0, #о = 0). Главная трудность итерационного процесса заключается в оценке собственных значений, которые обычно не могут быть вычислены непосредственно. Следующие теоремы допускают вы- числение границ собственных значений. Определение. Матрица М (@}) является днагонально доминирующей, если 111> ЗЛеЛЬ 918 при строгом неравенстве по крайней мере для одного # (# — индекс. строки). 226