9.1,5, Линейные системы. Основные теоремы
В предыдущем разделе показано, как строить кривые С и [
итерационного ‚ процесса. При этом нужно выбрать начальный
вектор. Чтобы сделать выбор более легким, можно воспользоваться
следующей теоремой.
Теорема 
1. 
Итерационный 
процесс 
Х„ = МХа + В
сходится для любого начального вектора Хо, если и только если
все собственные значения матрицы М_строго меньше 
1 
по абсо-
лютной величине.
Здесь приводится доказательство только для случая матрицы
М, которая может быть приведена к диагональному виду. Теорема
охватывает также другие матрицы. 
Подробное доказательство
дается Форсайтом и Вазовым [92, с. 215 ] *, которые, кроме того,
показывают, что теорема 1 может быть распространена на случаи,
когда некоторые собственные значения равны единице по абсо-
лютной величине. Мы не рассматриваем этих случаев.
Доказательство. 
NoМ может быть приведена к диаго-
нальному виду. Существует базис собственных векторов И, ..., И,
п-мерного пространства векторов Х„. В 
наших обозначениях
М является матрицей (1 — А) (см. раздел 9.1.4). Назовем Х реше-
нием уравнения АХ = В. Х представляет собой предел последо-
вательности Х, если такой предел существует. Необходимое
условие: предел Х существует,
Х, = МХ, -- В,
Х, = 
МХ, + В,
Хэа = ИХ -- В,
х =Мх --в,
Х — Хтм= М(Х — Х) = МЦХ — Ха) = М" Х — Х))
Пусть М, М, ..., No», р < п — собственные значения М. Положим,
что существует такое Ё, при котором
|No| > 1.
Выбор Х, производится так, чтобы Х — Х, принадлежало соб-
ственному подпространству, соответствующему /:
Х==Хо=хИ, (ЕК.
К — система индексов собственных векторов, соответствующая
собственному значению ,. Согласно правилу Эйнштейна сум-
мируем по &
Х — Хеа = МН 
И, = МИ.
* В. Вазов, Г. Форсайт. Разностные методы для решения уравнений в част-
ных производных, М., Изд-во иностр. лит., 1963 г. — Прим. ред.
8 
Ж. Фрид 
225