Итак, сходимость итерационного процесса эквивалентна схо-
димости геометрического ряда. Критерии сходимости одни и те же.
В приведенном примере сходимость может быть обеспечена, если
значения 7' (ху) по абсолютной величине будут меньше единицы.
Замечание. Позднее будет показано, что в нашем случае
эти величины представляют собой собственные значения некото- 
1
рых матриц, называемых «итерационными матрицами».
Скорость сходимости может быть повышена. Итерационные
методы, рассматриваемые в настоящей книге, представляют собой
не что иное, как различные улучшения основного метода в отно- —
шении скорости сходимости.
® 
Например, 
приведенный 
итерационный 
метод 
может 
быть
улучшен. Если аппроксимация
Гесна) — Г(ха) е (каа — о) Ё ()
считается достаточно хорошей, можно написать:
ху== 
ха " (боа — Х) + (сы — Хн) + 
**
З- (бааа — Х) + ***
ж = ®а -- он — а) П ННР к) + Р ()
ЧНее 
Н" к) ке ] = а на — )О 
— Р ()
х; — улучшенное приближение х;. по сравнению с Ханл, 
И про-
цесс повторяется от х}, а не от Жи-1.
9.1.3. Построение итерационного процесса
Данная задача заключается в решении уравнения:
Г (9 = 
0. 
(©.1.5)
МПредполагается, что решение является единственным для а <
< х < 6. Чтобы воспользоваться итерационным методом, необ-
ходимо получить кривую С и прямую линию Г. пересечение кото-
рых давало бы решение [9.5].
Уравнение [9.1.5| эквивалентно.
Р( + х = х 
(©.1.6)
ЛПодстановкой / (х) + х = & (х) задача сводится к решению экви-
валентного уравнения:
& ®) = *
т. е 
к отысканию точки пересечения кривой С и прямой линии Г,
соответственно выражающимися следующими уравнениями:
и = Е( иу = 
х.
Процесс будет сходиться, если:
—1 < @ (0 <1 (приа <х < 5)
222