0( 
е ®, 1„(х)
 
Яя 
и 
1, 2,..
образуют полную ортонормированную систему на положит
`ной полуоси, т. е. при 0 <х < сю.
Наиболее полное изложение теории прямых методов
держится в монографиях С. Г. Михлина [15, 16]. Однако
эти работы требуют от читателя довольно серьезной по
товки в области функционального анализа. Значительно 
ще, но зато и менее полно эти методы даны в монографии
`Здесь мы будем пользоваться только методом Бубнова—
леркина; сущность его мы изложим без доказательств и о
нований, отсылая к указанным монографиям.
Пусть требуется решить обыкновенное дифференциал
уравнение
Е (, у’, у) == 
0 
. 
‘при краевых условиях у=А при х=а и у= В при х= 5. Р
ние ищется в виде ряда
и= 
о(0 ер () -- 
| 
где Фо(х), Ф1(х), ...— какая- -либо полная в промежутке (
система функции При этом сумма. ряда (7 9) 
аппрокси
"руется суммои конечного числа членов
и = оо (0 -- еф (0 --... - са ( 
(
Два уравнения, которым должны удовлетворять неиз
ные коэффициенты сСо, С, ..., Сл, ОЧевидны, они вытекаю
краевых условий:
А — СОФО (@)—‘— 01(91 (а)+ э° + спфл (а)‚'
В == соФо (д) -- сФ (д) —., . + с„Ф (д)
‚`Недостающие уравнения (их будет п—-1) определя
следующим образом. Если уравнение (7.8) решить точно
левая часть (7.8) тождественно обратится в нуль, т. ©. б
ортогональна к любой другой функции. Если же в выр
ние (7.8) подставить значение # из (7.10), то.левая’ ч
(7.8), которую мы в данном случае обозначим через Г (х
С1, ..., С»), не будет тождественным нулем, ибо уравн
(7.10) не есть точное,решение (7.8). Метод Бубнова— Га
кина. сводится К требованию чтобы функция / была орт
нальна к такому числу первых представляющих функций
(
162