при любом , то система называется ортонормированной.
Полнота системы функций имеет для дальнейшего принци-
пиальное значение. Ортогональность и нормированность же —
свойства желательные, поскольку они приводят к некоторому
(в случае уравнений с переменными коэффициентами или не-
линейных уравнений не очень значительному) упрощению вы-
числений, но не обязательные. Однако применяемые для вы-
числений функции обычно ортогональны.
Нетрудно проверить, что, если система функций сро(х)
ф1 (х), ... ортогональна в промежутке а < х < ®, то система
функций фо(у), No:(9), ..› В которои
%( = Ф(р 
).
ортогональна в промежутке А < и < В.
‚ 
Приведем некоторые полные ортогональные системы функ—
ЦИЙ.
1. Система тригонометрических функций
1, 
ы1п Х, со$ х, 510 2х, со$ ЭХ, ...
(7.7)
ортогональна и полна в промежутке 
— лд < х< л. Системы
функций
1, со5 х, с082х, ... 
и 
&т.Х, вП 2х, ...,
рассматриваемые каждая в отдельности, ортогональны но не-
полны. 
|
2. Полиномы Лежандра
1° 
ая(х? — 1)"
Ро(5) == , Р,(х) == Эл ` 4хй 
—
й 
` 
| 
`
\ 
- 
1.8:5... (2у — 1) 
ду-й
= 
— 1 а—У 
` 
х 
› 
== 
:
\]240( 
) 
(п — у)! 2» — п)! 2877 
° 
аъ ‚
(из этой суммы выбрасываются члены с отрицательными 
сте-
пенями х) образуют полную ортогональную систему в проме-
жутке — 
1< х-<1. Заметим здесь, что система степенных
‚функций 1, х, х?, ... полна в любом конечном промежутке, но
не ортогональна.
3, Функции Эрмита
_ 
лл
ЁО(Х) 
—- 
`т—в * з 
Л'л(х)= 
і—'}-?'—_.— 
ах 
°
. 
]/:ГБ 
\/2пц!]/л 
‚ 
`
- -6