Как правило, правая часть _ дифференциального _ уравиения имест более сложный внд, чем в только что, рассмотреином при= мере. Математики обычно стараются аналитически. интегрировать такие дифференцнольные уравнения, вводя в Модель определен чые граничные усаовия. нн пределы, По сравиешио © численным решеннем. такоё _ анадитическое _ или математическое решение часго позволяет лучше понять поведение системы (например, при вычислении площадей), однако сго труднее применять в реальных ситуашиях. Кроме того, необходнмые граничные условня могут быть неприемаемыми с точки арения цели моделирования 2./4. Дифференциальные и конечно-разностные уравнения. ‘Обычно_начинают Однако е ростом_ ан более сложных_дифферси простых дифференциальных `уравнений. ‘проявляется теиденция к составлению ‘иальных уравнений, которые уже _ не удается нитегрировать аналитическим путем. Казалось бы, какую. практическую ценность может иметь уравиение, которое’ мельзя решить? Тем не менее ‘численное решенне таких уравнений часто’ не представаяет большого труда (см. подраздел 2.1.5). Продемонстрируем возможности обоих методов © помощью не- скольких_примеров. В упражнении 2 рассматривается — зодача, связанная е заполнением резервуара водой. Для регулирования скорости_ наполнення конструктор предусмотрел воитиль, вклю- чаемый часовым механизмом, Можно предположнть, что скорость, как функция времени, представлена дифферснинальным — уравие- ннем, &е/4ё == == (1,2/30) + 12 до момента времени # == %0, гдб © — количество воды, л; {--время, ©; @/ — скорость, © Жото- рой вода заполниет резервуар, причем эта скорость равна. нулю. после # 30. 'Интегрируя это дифференцнальное уравиение _ аналитическим путем, получаем количество воды ® в резервуаре как функцию времени: @ == — 1,2/60- + 1,21. С помощью — этого — уравнения. легко рассчитать приток поды для каждого момента врем #== 0 до Г == 30. `Упражнение 2 Используя _приведенное выше дифференциальное — уравиение, отложите на осй @ сКорость воды, заполняющей `резервуар. (а:е-!), а на оси х время (е). Результат- прямая, — выходящая 3 точки с коордннатами «@/& = 1,2 л.с-!, Через 30 с скорость становится равкой нулю. а. Какое количество воды макопидось в резервуаре за 30 с, если при # == 0 резервуар был пуст? 6. Рассчитайте количество воды в резервуаре как функцию времени за пернод от # == ) до # == 0. в. Проверьте результаты. вычислений, основанных на днффе- ренцнальном уравненни, используя данный интеграя. 5 Мы подчеркивасм, чо скорость потока воды в нашем примере не зависнт от количёства воды, которое уже находнтся в резер- зуаре. Однако скорости. в общем завнсят от состояния систем (подраздел 1.1.3).. Например, эколог может считать нсходя из за- конов бнологни, что численность животных в данном районе еже- тодчо возрастаст на определенный процент. Тогда темп ЭТОГО прироста, выраженный в увеличении. численности Животных, За тод' будет определяться уже достигнутым поголовьем No, $ле- повательно, не будет постоянным в следующие годы. Для этого случая справсдливо следующее дифференциальное уравнение: аи = си, где и—-число животных в определенный момент; © — относительная скорость прироста за год. Эа скорость является функцией. численности животных и; на графике опа имест Эд прямой, выходящей из начала Коордниат. Интегрирование этого дифферснциального уравнения может быть выполнсно аналити ‘ески п позволиет получить хорошо известиую экспоненциальную кривую роста, игше, где — время в ВЫбранных единицах; е—-основание `натуральных яогарифмов. Нижние_ индексы. при _ обозначают время; следовательно, иг No о представляют собой сния. неличины для времени # н для начала расчета соответ- ственно `Упражнение 8` 'Постройте график с экспоненциальной кривой. Отиосительная скорость прироста составаяст 0,03 за период 50 лст _ перпона- чальная численность стада 10° животных. Ось и на одном графике представьте в яниейном, а на другом — в логарифмическом () масштабе. 2.1.5. Численное интегрирование ‚До сих пор мы иссяедоваяи’ влнянне уравнении, определяю- щего скорость, на перемениую состояния, анаднтически. иитегри- руя это уравненне. Численное значенне ` переменной _ состояння Хожно представить как функшио времени, если. выполиять это п тегрирование' для разных. моментов времени. Таким. образом, мы можем. рассчитать ее поведение, а также рассчитать динамику Значений переменной состояния, Вычнсляя ее нзменения в течение ряда последовательных коротких пернодов. _ Можно - допустить, что скорость остается ‘постоянной на протяжении такого корог: кого пернода времени, Зафиксируем некоторое начальное состоя- чие и» Используя упомянутое ураниение скорости, можно рассчи- тать абсолютную скорость в теченне следующего интервала, вр<- мени вн шага по времени М н носледующее измененне состоя- ния за этот интервал времени. Новое состояние затем определяет. новое значение скорости, которое действует в течение следующего чатервала М и т-д л я