Дифференциал дуги кривой определяется 
по формуле
[209]:
ф& 
= 
`/‹іхг +а 
(3.287)
Так как дугу окружности можно расценивать как частный
случай кривой, на основании выражения (3.287) запишем:
(2(2)42) 
е
Учитывая систему уравнений (3.286), можно записать:
а 
‚Зуу’-у"-у?у"
=- ИНЕ 
(3.289)
У
дв 
3у"2 —у"'—у’%”'
щ 
Н 
ВЕнеЬ, 
3.2
а 
2 
(3.290)
Подставив уравнения (3.289) и (3.290) в выражение (3.288),
получим:
« 
зуу? _ ууу
[—’] =@+ у'2)[щ] ‚ 
43.91)
& 
У
. 
\? 
=„? Ё; 
_ 2}
Найдем далее [%] . Так как ;, = '_"‚ 
„о 2 !_‘:; ' ‚
? 
У
дифференцируя по х обе части этого равенства, после соответст-
вующих преобразований получим:
(& -(-т ана
374
(3.292)
Сравнивая 
равенства 
(3.291) 
и 
(3.292), находим 
что
«Е оа,
&) ` \ & 
& 
—&
@.
Так как ‘,—‘ не меняет знак ( ;, только возрастает, или только
р
@,
убывает), следовательно, и [,—' не меняет знак. Примем для оп-
э
2 0. Следовательно, ж = _& :
& 
& 
&
Далее, пусть точка К имеет абсциссу х) , а точка В — абс-
« <, &
&
ределенности
циссу х› (рис. 3.78). Применим теорему Коши к функциям
1,(х) и к (х) на отрезке [ х, ‚ х› ]:
1.(к) ‚(Х:)_[%].=а
_[ 
—
__ц‹.‹,›—а‹хз›_[@) ы
&
где & — число, заключенное между х и Х) (х, <& <%).
Введем ` обозначения /‚(›'3)=!‚.2 я /‚‚(х.):!„. і;‚(.\ъ):г„,
п(4)= 
та
Иа 
—А = т —^ 
(3.294)
Таким образом, 
приращение длины 
дуги окружности
«, равно по абсолютной величине соответствующему прира-
щению радиуса кривизны @ -
375
_