6.10. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИ КА ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В относительно простых гидрогеологических условиях получают решения аналитическими методами; в сложных условиях используют моделирование, привлекая вычислительную технику. Все многообразие методов можно условно свести к трем группам. В первую группу входят строгие гидромеханические и ана- литические способы решения. Уравнения Лапласа и Пуассона, описы- вающие стационарную одномерную фильтрацию, интегрируются непосредственно при заданных граничных условиях. При плоско- вертикальной фильтрации используют метод конформных преобразо- ваний из теории аналитических функций [3, 8, 24, 401. Дифферен- циальные уравнения нестационарной фильтрации решают методами математической физики (операционным исчислением, разложением в ряды Фурье и др. [24, 30, 40]). Дифференциальные уравнения радиальной и планово-радиальной фильтрации, характеризующие приток воды к скважинам, рёшаются с использованием теории линейных и точечных стоков (или источни- ков) на плоскости или в пространстве [3, 4, 6, 81. В гидромеханике источниками и стоками называют особые математические точки и ли- нии, которые соответственно выделяют или поглощают жидкость, не имеют поперечных размеров, т. е. / = 0, а линии характеризуются некоторой длиной /. Скважины с коротким фильтром рассматривают как точечный, а с длинным фильтром — как линейный источник (от- качка) или сток (нагнетание). В результате решения устанавливается функциональная связь динамических функций процесса Ффильтрации Н и @ с влияющими на них факторами х, у, #, Т, а и т. п. Это одно из достоинств рассматриваемых методов. Однако значительное упро- щение природной обстановки может привести к получению недоста- точно надежных практических результатов. Вторая группа -— это приближенные методы: гидравличе- ские, графические и фрагментирование потока. Гидравлические ме- тоды основаны на непосредственном интегрировании дифференциаль- ного уравнения Дарси (4.5) или (4.8) применительно к стационарной одномерной фильтрации. В этом случае принимают математически известными форму поперечного сечения потока (линий равного на- пора) или форму линий токов, что адекватно заданному распределению вдоль них градиентов потока. Графические методы основаны на использовании гидродинамиче- ских сеток, которые строят вручную по правилам, изложенным выше, а в сложных условиях применяют методы моделирования. К этим способам относится известный метод недеформируемых лент (трубок) тока [3, 19, 34]. Метод фрагментов предусматривает разбиение по- тока на части, для которых ранее получены решения, или их можно получить в более простой постановке, чем исходная. Полученные ре- шения «склеиваются» с использованием граничных условий четвер- того рода и метода суперпозиции. Основное достоинство этих мето- дов — простота нахождения инженерных решений, обеспечивающих 17