Рис. 
4.4. 
Схема к вы-
воду дифференциального
уравнения линии тока
нарной фильтрации векторы скорости частиц воды переменны во вре-
мени по направлению и величине, поэтому траектории их движения
не совпадают с линиями токов, которые, как отмечал Н. Н. Павлов-
ский, являются лишь мгновенными кинематическими характеристи-
ками потока, позволяющими судить о направлении скоростей движе-
ния в точках, в данный момент времени попавших на рассматривае-.
мую линию тока.
Получим дифференциальное уравнение линии тока. Выделим на
линии тока бесконечно малый элемент @$ и обозначим его проекции
на оси координат соответственно ах и йу. На этом элементе деиствует
вектор скорости ос составляющими о, и @, Найдем связь проекций
линии тока с проекциями вектора скорости фильтрации. Из рис. 4.4
видно, что 
= @5 со$ @, 
@у 
== 
45 51 @, 
а о, — осова 
и 0, —
= © УЛ а. 
Выразив отсюда соответственно Значения со$ @ 
и зшос
найдем 4х/а$ = о/о и 4у!а5 = о/0 и после преобразований полу-
чим зависимость, которая и является дифференциальным уравнением
линий тока плановой фильтрации
ах!о,== ду/о0,. 
(4.21)
В плане или’в разрезе две линии тока образуют ленту тока
(рис. 4.5). При установившемся движении она обладает такими свой-
ствами: а) не изменяет формы; б) ограничивающие ее линии тока пред-
ставляют собой непроницаемые границы, так как скорость по нормали
й к линии тока равна нулю (аН/ап = 0); в) ленты тока гидродинами-
чески независимы.
Докажем ортогональность линий тока и линий напора. Восполь-
зуемся понятиями потенциала скорости фильтрации ф 
и функции
тока }. Первый связан, с напором соотношением (4.10), а с 0, — со-
отношениями (4.11). Функция тока % связана с понятием расхода по-
тока. Действительно, уравнение линии тока (4.21) можно переписать
в виде
оуах— ойу = 0, 
(4.22)
что представляет собой полный дифференциал @ф — 0 некоторой функ-
ции , которая имеет постоянное значение 1 == сопУ на данной ли-
нии тока. Тогда разность в— }д определяет количество воды, про-
текающей через произвольный контур, начало и конец которого на-
70