ГИДРОТЕХНИКА ИНШООТЛАРИ ВА НАСОС СТАНЦИЯЛАР
описывается квазигармоническим уравнением
і["хй)дг 5 "уд—... + (0` -н 
=0 
(5)
дх\ * х ) ду\ ° ду 
д
где и/(1,х,у) - неизвестная однозначная в рассматривае-
мой области функция увлажнения; К, і‹у - известные функ-
ции координат - коэффициенты фильтрации (в случае
К,* К, - анизотропного грунтового массива); О* - известная
функция координат и времени (в задачах, рассматривае-
мых ниже эта функция представлена увлажнением вер-
хового откоса, находящегося ниже уровня воды).
Для решения плоской задачи о распределении ув-
лажнения 
среды в грунтовой плотине рассматривается
трапецеидальное сечение находящейся в плоско-дефор-
мируемом состоянии (рис.1). Верхняя и одна боковая сто-
роны его свободны от напряжения, а нижняя часть жестко
защемлена.
Для постановки задачи используется вариационное
уравнение Лагранжа, кинематические граничные усло-
вия, соотношения Коши и закон Гука [10]. Для решения
поставленной задачи используется метод конечных эле-
ментов (МКЭ) [11].
Граничные условия на поверхности, где происходит
постоянное замачивание (на части верхового откоса, на-
ходящейся ниже уровня воды), задаются максимальным
значением функции увлажненности и [12]:
у = % + оак = 0.38 
(6)
На остальной части границы 
выполняется условие
уноса влаги - 
к, У + 
ОН, +а 
= 0 
(7)
дх 
’ ду ”
где 1, 1, - направляющие косинусы внешней нормали
к граничной поверхности;©- потеря влаги путем конвек-
ции. При с=0 и условие (7) сводится к известному усло-
вию непроницаемости границы
° о 
©)
дп
В наших исследованиях боковые границы предполага-
ются проницаемыми, а основание — непроницаемым, на
котором скапливается жидкость, поэтому увлажненность
здесь со временем возрастает до максимального уровня
иятах=0.38 
(9)
Уравнение (5) вместе с граничными (6)-(9) и началь-
ными для функции и/,=%и/(#=0) условиями однозначно
определяет решение задачи на определенном интервале
времени.
В некоторый фиксированный момент времени произ-
водные от \у по времени и все коэффициенты могут рас-
сматриваться как заданные функции координат и тогда
задача аналогична квазистатической при условии, что
выражение в последнем слагаемом в (5) трактуется как
независящая от времени функция координат О(х,у). В
этом случае уравнение (5) эквивалентно требованию ми-
нимизации функционала [12]
2 
2
И = .'. і ]‹х[д_и) + ]су д_И]
„| 
2 
дх 
ду
по всей области при тех же граничных условиях для \/.
— Оу/ с!у+_'-аимів (10)
5
у) 
-
Здесь О = — — ; 5 — поверхность области, на которой за
даются граничные условия (6) - (9).
Конечно-элементная 
дискретизация 
рассматривае-
мой задачи получается в результате разбиения рассма-
ТРИВЭЭМОЙ области на конечные элементы треугопьной
формы, с линейной аппроксимацией функции увлажне-
ния внутри элемента 
а+бх +су
у= 
(11)
25
В результате конечно-элементной дискретизации, для
нестационарной задачи о распределении влаги по всей
области в результате максимального увлажнения части
свободной поверхности получается следующая разреша-
ющая система дифференциальных уравнений
[С]Ё{No}+[Н]{No}:О 
(12)
где матрица [Н] получается в результате объедине-
ния элементарных матриц ///° вида
: 56 
БЬб, 
Ббм 
се; 
се; с
[ 
=4—; 
Ь, Ь, +—; 
сус, 
сс„ |(13)
а матрица [С] - в результате объединения матриц /с]::
2 
1 
1
[ = 
11 
2 1 
(14)
12
1 
1 
2
Решение полученной системы дифференциальных
уравнений (12) дает ответ на поставленную задачу о рас-
пределении нестационарного поля увлажнения области
в зависимости от времени. Для ее решения используется
алгоритм, основанный на методе Ньюмарка с разложени-
ем функций и/(; +т) и и(г +т) в ряды по степеням т- шага
интегрирования, приводящим к разрешающей системе
алгебраических уравнений относительно функции увлаж-
нения и/,,,: 
[А]{щ„ }= {В+1 }, 
(15)
где 
[А|- [Н][С]В/(от); 
(16)
(га =[С][No+[Ё—1]{щ}+3[Ё—2]No} 
(17)
от 
@ 
2\а.
{и} 
, {и), } { у } 
- найденные на предыдущем шаге по вре-
мени функция увлажнения и ее производные.
На первом шаге для формирования системы алгебра-
ических уравнений используются начальные условия при
1=0: и=и), у›’= и . Система алгебраических уравнений
(15) решается методом Гаусса. Полученные решения
у/, 
/ используются для формирования и решения си-
стемы уравнений на втором шаге. Далее процесс повто-
ряется требуемое число шагов по времени.
Описанный алгоритм применен к решению задач о
распространении влаги по телу грунтовой плотины по
времени при заполнении водохранилища до определен-
ного уровня.
Тестовая задача о распределении порового дав-
ления в глинистом ядре грунтовой плотины. Поровое
давление консолидации возникает в глинистых грунтах
основания и теле земляных плотин в процессе их уплот-
нения под действием собственного веса вышележащего
грунта, гидростатического давления и увлажнения верхо-
вого откоса.
Расчет порового давления производится, если грунт
водонасыщен со степенью влажности и> 0,85 и коэффи-
циентом фильтрации К, <(5-10)10°см/с (& 10?м/сут).
В работе [13] приведено сравнение натурных замеров
в ядре плотины Сер-Понсон и результаты расчетов по-
рового давления, выполненные по указанным в работе
41
‘“Теп1вабыуа уа теПогаёыуа” игпаП No4(6).2016