от влагозапасов; т — время релаксации речного стока (время установления нового режима как реакции на внешнее возмуще- ние); &, 6‚› & — дельта-коррелированные независимые случайные процессы; о,, С, с — интенсивность соответствующих про- цессов. Известно, что в случае немонотонной зависимости испарения с поверхности реч» ного бассейна от влагозапасов эта система может иметь два устойчивых состояния равновесия и одно неустойчивое. При слу- чайных колебаниях осадков возможен пере- ход от одного стационарного состояния К другому. Всли предположить, что слой осадков — периодическая функция времени, то получим уравнение колебаний нелиней- ного осциллятора под воздействием перио- дической силы © известной амплитудой, ха- рактеризующей размах колебаний осадков. Аналитические и численные методы реше- ния такого нелинейного уравнения показа- ли, что при малых амплитудах колебаний осадков наблюдаются только регулярные колебания влагозапасов. С увеличением ам- плитуды колебания становятся хаотически- ми и для нединейной системы (1) становит- ся возможным возникновение странного ат- трактора. Ввиду зависимости стока от вла- тозапасов изменения уровня Каспийского моря также будут хаотичными. Стохастическое дифференциальное урав- нение водного баланса Каспийского моря для среднегодовых значений представим в виде аН, = (0 5(Н) - Е (Н) - (Н)а + © где Н, и 5(Н) - уровень и площадь поверх- ноети моря соответственно; @ — речной сток; Е (Н) и Ч(Н) — соответственно слой видимого испарения и слой стока в залив Кара-Богаз-Гол; о, И — винеровские процессы, учитывающие эффективное воз- действие речного стока, осадков и испаре- + 65 (Нат, — аТ, 82 ния; б,, б, — интенсивность приращений винеровских процессов. В соответствии с нелинейным тепло- вым — механизмом будем считать, что ЯЕ (аН < 0. В этом случае детерминиро- ванное уравнение, соответствующее ста- ционарному режиму, будет иметь три ре- шения: О - ЯН)Е (Н)-«(Н)хН) = 0 @) Равновесные уровни Н и Н) устойчивы по отношению к малым возмущениям, но неус- тойчивы к конечным, Уровень Н› абсолкут- но неустойчив. Таким образом, имеется не- линейная динамическая система, у которой нет глобальных устойчивых состояний рав- новесия. При этом возникают следующие вопро- сы: как долго уровень водоема, для которого справедливы уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, будет долго оставаться в 3а- данном интервале значений уровня; каково, например, случайное время перехода с ниж- него уровня на верхний и обратно; как рас- пределена эта величина? Эти нестационарные задачи решаются © помощью обратного уравнения Фоккера — Планка. Показано в частности, что имеет место экспоненциальный закон распределе- ния времен перехода с одного уровня на другой. ©С помощью развитых нелинейных ста- тистических моделей выполнен вероятност- ный прогноз поведения уровня Каспийского моря на ближайшие 20-30 лет (см. таблицу). Например, при отметке уровня моря -26,99 м (такой уровень наблюдается в настоящее время) вероятность стабилизации моря на отметке -28,3 м составляет 0,83, а время ста- билизации около 20 лет. Вероятность пере- хола на высокий уровень 0,17, время стаби- лизации 27 лет. Сравнительно небольшая вё- роятность перехода на верхний уровень объ- ясняется шширокой зоной неустойчивости В окрестности нижнего уровня. При дальней- шем увеличении уровня моря вероятность перехода на верхний уровень экспоненци- ально увеличивается. Т58М 0135-3500. Записки Горного института. Т.154