ВЕСТН. МОСК. УН-ТА СЕР. 5. ГЕОГРАФИЯ. 2011. No 2
51
тически совпадающую с гауссовой кривой (с 2%-м
уровнем значимости по критерию %2). Сопоставление
изменений уровня Каспия с “календарем” глобальных
климатических событий, проявлявшихся в централь-
ной части Восточно-Европейской равнины (региона,
где формируется основная часть стока Волги и Камы),
показало [2], что уровень моря был выше во время
холодных аномалий малой ледниковой эпохи и сни-
жался в теплые эпохи средневекового потепления.
Сложность и разномасштабность реакции моря
или озера на внешние воздействия предопределяют
возможность применения стохастических моделей
для описания изменчивости объема (площади или
уровня). Так, в достаточно общей модели стохастиче-
ского резервуара [11, 16] решается задача определе-
ния вероятностных характеристик динамики объема
на основе информации о эмпирически определяемых
функциях распределения вероятностей составляющих
водного баланса.
В статье ставится другая цель — определить осо-
бенности динамики уровня стохастического резервуа-
ра, опираясь на детерминированные соотношения
водного баланса. Для решения этой задачи рассмо-
трим соответствующее уравнение, описывающее из-
менение во времени объема (И) воды произвольного
озера [11]:
ау (г)
7:\/+ () -/ (()е(/)-У` (г).’
где `— площадь поверхности озера,
#(;)
(г =!, + | л,
Л.
()
е — “видимое испарение” т.е. разность между испаре-
нием и количеством осадков над зеркалом; у*, у” —
вклад речного стока в озеро и объем вытекающей воды
соответственно.
Прежде всего отметим, что рассматривается не-
пересыхающее озеро, у которого колебания уровня
относительно среднемноголетнего значения малы.
Это делает возможным линеаризацию уравнения (1).
Это условие, типично представляющее собой в слож-
ных задачах ограничение общности, в данном случае
является естественным, поскольку означает, что на
протяжении рассматриваемого 
интервала времени
мы имеем дело с одним и тем же озером, не претер-
певающим — катастрофических 
изменений — своих
свойств. В диапазоне небольших колебаний уровня с
достаточно высокой степенью точности выполняется
линейное 
соотношение, 
связывающее 
положение
уровня с площадью зеркала озера, т.е. / = а + БИ. Это
позволяет, в частности, принять (а + Би)-! = 1 — йЫ /а,
что понадобится далее. Затем, представляя сток воды из
озера гидравлической зависимостью У` = У 
+ а„й(?)
(в которой первое слагаемое — величина среднемно-
голетнего стока), запишем уравнение (1) в виде [11]
26 ВМУ, география, No 2
-— () 
+ У-О-М —) 
0
а 
а 
а
Перейдем к анализу межгодовых флуктуаций.
Для этого выполним осреднение уравнения (2) за год.
Как оказалось [11], с достаточной точностью выпол-
няется соотношение у*(1) Д(7) = (У"(1)) Д(7). Это по-
зволяет записать уравнение (2) в следующей форме:
а() 
_
@й
= -М 
(е) + 2(:),
У' 
(#)-У; 
(3)
3(;)=_(’3 ' —е(г).
Бу' () [ а, 
м;ь
— +
а 
а 
а
где ), = 
= М +^ 
.
Решение уравнения (3) возможно при известном
начальном условии /(1)) = й)-
Для Каспия в соотношении /` = 
а + БИ а равно
366 тыс. км?, Ь составляет 14 тыс. км?/м, / отсчитыва-
ется в метрах относительно отметки —28,5 м. Речной
сток в среднем составляет у) = 275 км3/год, сток в за-
лив Кара-Богаз-Гол оценивается как у” = 8,8 + 8,6Л,
км3/год. За счет испарения Каспийское море отдает в
атмосферу приблизительно в 5 раз больше влаги, чем
получает в виде осадков, выпадающих на зеркало озе-
ра, и видимое испарение с зеркала составляет при-
близительно 0,75 м/год. Показатели , = 0,03/год и
Л, = 0,02/год. Если не пытаться конкретизировать
функцию # (, то ее поведение можно рассматривать
как случайный процесс. Эмпирические данные пока-
зывают, что коэффициент корреляции между величи-
нами, сдвинутыми на год, составляет около 0,3, а при
сдвиге в 2 года можно прийти к ситуации статистиче-
ски независимых событий. В этом случае уравнение (3)
записывается так:
%Ё)эм@)...@). 
4)
Оно воспроизводит “медленную” динамику уров-
ня моря Й = й() под влиянием быстро флуктуирую-
щего внешнего воздействия 11 = 1(2), представляющего
собой белый шум. Здесь . описывает эффективность
линейной обратной связи системы, определяя харак-
терное время медленной эволюции 2/!, составляю-
щее около 20 лет. Уравнение (4) представляет собой
так называемое стохастическое уравнение Ланжеве-
на, в котором система медленно эволюционирует под
воздействием накапливающихся быстрых случайных
воздействий.
Автокорреляционная функция быстрого воздейст-
вия может быть записана, например, в следующем виде: