Для 
раскрытия 
и объяснения 
эволюции 
озер 
в палеолимнологии
иногда 
пользуются 
многофакторными 
регрессионными 
моделями.
При 
этом 
ограничиваются 
моделями 
линейного 
вида, 
что 
с практи-
ческой 
точки 
зрения 
является 
вполне 
оправданным 
даже 
при
сильно 
нелинейном 
характере 
«истинных» 
связей 
в силу 
больших
погрешностей, 
присущих 
палеогеографическим 
данным. 
Как
известно, 
линейные 
модели 
менее 
чувствительны 
к таким 
погреш-
ностям, 
однако 
и для 
них, 
как 
отмечает 
П. 
Хьюбер 
(1984), 
при
использовании 
традиционных 
методов 
оценивания 
параметров
линейной 
регрессии 
даже 
один 
грубый 
промах 
в исходных 
данных
может 
существенно 
исказить 
саму 
модель.
Для 
уменьшения 
влияния 
больших 
погрешностей 
в 
математи-
ческой 
статистике 
рекомендуется 
иногда 
отбрасывать 
точки,
сильно 
`уклоняющиеся 
относительно 
начальной 
традиционной
оценки 
множественной 
линейной 
регрессии, 
и строить 
новое 
урав-
нение 
регрессии. 
Однако 
такой 
подход 
представляется 
слишком
«расточительным», 
учитывая 
и без 
того 
малые 
объемы 
информа-
ции, 
а 
также 
большие 
затраты 
на 
ее 
получение. 
Кроме 
того,
он 
часто 
оказывается 
неудовлетворительным, 
так 
как 
большие
ошибки 
в 
исходных 
данных 
не 
обязаны 
проявляться 
в 
больших
остатках 
и по 
причине 
общего 
роста 
остатков 
они 
могут 
оказаться
как 
бы 
«затянутыми 
дымовой 
завесой» 
(Хьюбер, 
1984). 
Поэтому
в 
палеолимнологии 
представляется 
более 
целесообразным 
отка-
ров 
регрессии, 
основанных 
на 
принципе 
наименьших 
квадратов, 
и
У
=
Х@ +
Е,
(17)
характеристики
размерности
М
ж
1,
Х=
(х;)=1,у=1
—
матрица
зна-
М — 
число 
наблюдений, 
л — 
число 
наблюдаемых 
палеогеографи-
ческих
характеристик.
Остатки
(е)?
предположим
независимыми
М-оценкой
вектора
параметров
регрессии
©
назовем
вектор
6,
минимизирующий
сумму
М
—
Х.о
›
_...А
-—
_іу_
(18)
{= 1
где
Х,
=
(х,)
—
!-я
строка
матрицы
Х
(#
=
1,
2,
.
..,
М);
с
—
пара-
метр
масштаба,
подлежащий
оцениванию;
р
—
непрерывная
кусочно-дифференцируемая
четная
возрастающая
на
(0,
+
со)
функция,
причем
р
(0)
=
0.
202
Если
\(Х)
=
р’(х),
то
необходимое
условие
минимума
выраже-
ния
(18)
можно
записать
в
виде
л
No...
д„.ЁАЗі
М...
о„...х__„щ\а..._
х==0,
[=1,
л.
(19)
{==
1
Ё
=1
В
общем
случае
система
нелинейных
алгебраических
уравнений
(19)
относительно
(@;));
должна
решаться
численными
методами.
Для
этой
цели
можно
использовать
одну
из
следующих
трех
итеративных
схем:
дт+)
=б
о(ХТ<(г) 
>Ю
!ХР(г),
(20)
®х3+:н®‚дё+о^жчёі_ж2_. 
(7), (метод 
Хьюбера), 
АюЭ‚
@АЭ.тЗН\ФАЭ..пТОАХчА%АЭЧ
юэдістч
АЁАФЧ
@
АЗНО.
1,
..
),
Аююу
где
Т
—
знак
транспонирования;
хпдзучнс\імт@‚з..\о_
()
=
=У(х)/х 
—
диагональная
матрица
размера
Мх М
с
элеменТами
%..."%АЧ_.Ч.
У
()>
0
‹ие)=|
о-
.
23
^>(гу
Способ
(22)
(Е1е!сВег,
Сгап{,
НеЫеп,
1971)
получил
название
«итеративного
МНК»
(геме!е!Н!ей
1еа5!5дпагес),
ПОСКОЛЬКУ
си-
стема
(19)
может
быть
переписана
в
виде
м
М
пху,
=
0,
(24)
{=1
ИЛИ
а.
2
2
М@‚_...м
а......з_„_...@и
м._\__..._..%_.._н_.„_.
„......э
Ё
=1
#==
1
{= 1
соответствующем
взвешенному
методу
наименьших
квадратов,
причем
«веса»
,
могут
быть
оценены
на
основе
параметров,
ПОЬМЁ..ФЩШЕХ
на
:ФФЬ‚ЕР%ЕФЁ
шаге.
В
качестве
оценки
с
рекомендуется
брать
нормированную
величину
д
=
тей
|
(у;
—
Х@0')
—
теч
(у,
—
Х@®)|
/0.6745
(26)
1<7<
М
11
М
Для
получения
оценки
6
П.
Хьюбер
(1984)
предложил
оценивать
регрессию
по
методу
наименьших
квадратов
(о(с)
=
=х?),
а
Холлэнд
и
Уэлш
(НоПапа,
\е!зей,
1977)
—
по
методу
наименьшего
модуля
(р
(х) =
|х|).
Параметр
масштаба
можно
также
Ёфъшжошш:...
например
по
формуле
(26)
с
заменой
ин-
декса
©
на
“..
Из
представленных
численных
методов
теоретически
наиболее
предпочтителен
метод
Ньютона
(20),
но
его
использование
затру-
203