гидрометеорологических рядов и данных анализа косвенных инди- каторов изменчивости параметров природной среды, что дает возможность значительно расширить временные рамки инструмен- тальных наблюдений и проводить экстраполяции при изучении истории озер, открывая новые возможности для географического прогнозирования. Методы статистической обработки палеолимнологических данных Полученные в результате полевых исследований палео- географические данные в дальнейшем подлежат статистической обработке, классические методы которой, основанные на принци- пах максимального правдоподобия и наименьших квадратов, ба- зируются на явных или неявных предположениях о законах распределения случайных величин. При соблюдении исходных предположений статистические процедуры приводят, в известном смысле, к оптимальным оценкам. Однако сами процедуры в боль- шинстве своем весьма чувствительны к отклонениям от постули- руемой модели данных и в этих случаях могут давать результаты, В палеолимнологии одной из причин нарушения предположе- ний является «загрязненность» данных выделяющимися аномаль- ными значениями. При этом «загрязненность» палеолимнологи- ческих данных является не исключением, а скорее правилом. Объясняется она несовершенством методик отбора, обработки и анализа полевых материалов, а также индивидуальными особен- ностями — исследователя. Поэтому в палеолимнологии лучше пользоваться не классическими методами статистической обра- ботки данных, а так называемыми робастными методами, которые от постулируемой модели, в том числе и за счет «загрязненности» данных. › Под робастностью в современной математической статистике понимается свойство статистических процедур быть слабо чувстви- тельными к небольшим отклонениям от исходных предположений насчитывает уже около двух столетий и связана с именами Лежандра, Лапласа, Эджверта, Пуанкаре, Пирсона и др. Однако наиболее интенсивно эти методы стали развиваться лишь в послед- В палеолимнологии могут найти применение практически все существующие виды статистической обработки данных. На прак- тике, однако, в силу недостаточности исходного материала вынуж- э 198 дены ограничиваться оцениванием параметров кривой п..._п:пМ... деления вероятностей и сглаживанием временных рядов; ш:о- чительно реже удается воспользоваться многофакторными регре сионными моделями. Далее мы остановимся лишь на указанных видах статистической обработки палеолимнологических Ёш%ттм.. При этом рассмотрим только наиболее распространенные ро _..._5 ные оценки типа максимального правдоподобия (или М-оценки). Пусть случайная величина Е имеет распределение Р(х) с :ьоч...... ностью Р(х, 0*), зависящей от одного неизвестного :ш_..ш_ммато 0*. Рассмотрим задачу нахождения оценки @у параметра реализации Х1, Хэ, -. -› ХМ случайной величины Е. Как =шшточ=о... оценка максимального правдоподобия получается в результат решения задачи М П р(х» @) — тах. {== 1 @ ИЛИ м — М 108 р (Х Э!т_:о...:. (2) =1 Функция р(х, @) = —108 р (х, @) называется оаЕЁоЁЁж:........ потерь. Если существует непрерывная производная % (, 0), то оценка Фг является корнем уравнения М М ._.тАК_.. Фу”О. #=1 где ф (х, @) =06(х, ®), р (х, @) = — 10г р (х, 0). Решения шыщшщ........:..ж_ с некоторой функцией ® (х, 0), не обязательно оош:...... ощей е % (х, 0)==[--10к р (х, ®)]в, называются оценками типа”м . -оценками. мального правдоподобия, или М ‚ Если зависимость пПлотНосТИ _..шо:ю...ржёш:ю шоъоыч_:.....т_чт......_шт_д.. параметра @* имеет вид р (х, 0*)== р (х— @ ), то параметр Ах.г я вается параметром сдвига, поскольку график функции No=: д получается из графика функции р(х) сдвигом на штьхі_ %іё в направлении оси Х. Если р — четная функция Её!ъ‘ е*) (т. е. график плотности симметричев относительно точки х== 0”), то параметр @* является центром NoNoо=пфт„_..„оью:=щ„ так как в этом е = 0*. случае математическое ожидани ы ‹Щ. Хьюбер (1984) показал, что при достаточно общих :...Ф...Ц:М ложениях относительно плотности р и Ё...Е„ЕЁ \ Ё-о%_...шхш ......\... т..._ метра сдвига 0* является состоятельной (0 — —> 9* почт верное) и асимпотически нормальной: /М 6 —6") - М[0, У (, Р). @) Классическим примером робастной М-оценки параметра сдвига является оценка Хьюбера, которая получается при 199