$ 4. Фильтрационные расчеты скважин
методами интегральных преобразований
Сущность рассматриваемых здесь методов решения геофильтрационных
задач заключается в использовании различных интегральных преобразований
по отношению к исходному дифференциальному уравнению. В результате
задача сводится к решению его интегрального аналога, имеющего меньшее
число независимых переменных за счет удалений той переменной, по которой
велось интегрирование. Чаще всего в качестве такой переменной выступает
время, 
реже — пространственные координаты; 
соответственно, 
наибольшее
распространение на практике получили методы решения геофильтрационных
задач с помощью преобразования Лапласа (или Лапласа—Карсона) по времен-
ной переменной.
Запишем общее уравнение фильтрации при откачке в виде
д8 
=
-—-Э—{- == В (8)‚ 
(220)
где 2 — дифференциальный линейный оператор, содержащий производные
от функции-оригинала © лишь по пространственным координатам (линейность
здесъ предполагает независимость коэффициентов при производных от искомой
функции ©5).
Применим к уравнению (2.25) преобразование Лапласа--Карсона [11, 12],
введя функцию-изображение
5(& у 
= 
-Ё;— 5 5(г у, ЕЙ Р, 
(2.26)
0
тде #, — параметр преобразования, имеющий размерность времени. Тогда урав-
нение (2.25) перейдет в стационарное:
5 
-
т — 5н 
0 () 
(2.27)
Если исходная поверхность напоров стационарная, то, принимая $/;-о = 0
получим уравнение в изображениях:
Ь
$ —гр (5) — 0, 
(2.28)
в котором сохранились производные лишь по пространственным координатам.
Граничные условия для уравнения (2.28) получаются из исходных гранич-
ных условий после применения к ним преобразования Лапласа—Карсона вида
(2.26). В частности, из формулы (2.26) следует, что при постоянных во времени
граничных условиях они сохранятют свой вид и после перехода к изображениям.
Таким образом, вместо исходной нестанионарной краевой задачи для функ-
ции-оригинала $ решается более простая («стадионарная») задача для фупк-
ции-изображения ©.. Для перехода от решения в изображениях к исходному
решению для функции-оригинала используются специальные таблицы обраще-
ний для преобразования Лапласа—Карсона или Лапласа [12].
ы