36 
Глава 1
имеется в неограниченном количестве. Хищников, например ры-
сей, в системе -— у, они питаются только зайцами. Уравнения,
описывающие изменения численности популяций зайцев и рысей
имеют вид:
ах
—-:]( 
—](ху‚
@ 
и
ау
— 
= Куху - 
Коу.
@ 
3 
23
Множитель К, описывает размножение жертв, & —- их убыль в
результате взаимодействия с хищниками, & — размножение, а К
убыль хищников.
Система находится в стационарном состоянии при ах/ат = 0,
ау!ат = 0. В этом случае она принимает вид:
К|х — Кху = 0,
Кзху - Коу =0,
и имеет решения х = 0; у = 0 и хо = К/Кз; уо= К|/К. Состояние
системы «хищник-жертва» удобно изображать на плоскости ХУ
(аналогия фазовой плоскости — координата, скорость или коор-
дината, импульс). На плоскости ХУ траектории, описывающие
развитие системы во времени, имеют вид замкнутых кривых во-
круг стационарных точек хо, У0-
Разделив второе уравнение системы на первое получим урав-
нение
_‘_12’_ — у(бх - К)
ах — х(& - Ку)
Это уравнение с разделяющими переменными имеет общий инте-
грал
Ках — Ко1пх + Ку — К1пу = соп5,
где сопз{ — константа, период движения вокруг стационарной
точки определяется следующим образом:
ВВЕДЕНИЕ В ЭКОЛОГИЮ ОЗЕР 
37
Т =2п/(к, 
6) '”?.
Численность популяций х, у испытывает периодические коле-
бания с периодом Т, смещенные по фазе (Рис. 1.8, Алексеев,
1978). Средние значения равны хо, Уо: Колебательные изменения
численности популяций в подобной системе хорошо известно по
результатам натурных наблюдений. Внешнее возмущение, воз-
деиствующее на систему, может перевести ее на другую траекто-
рию движения вокруг стационарной точки, колебания численно-
сти хищников у и жертв х будут происходить при этом с другими
амплитудами.
Х› Х2
Рис. 
1.8. Циклические колебания в
системе «хищник-жертва» на примере
двух инфузорий: 
1 
— рагатестит
саодаюит — (жертва), 
2 
— &тит
111357%311111 
(хищник) 
(Алексеев 
В.В.,
Эволюция популяций вблизи стационарного состояния в слу-
чае равномерного и пропорционального изменения численности
видов (отлов, охота) 4х = аха1, 
ау = Ъ уа: может быть описана
следующей системой уравнений:
ах
“° = (& -а)х 
-
7 
(& —а 
- 
Кху,
ду— 
= Ауху — (К + 
Б)у.
ао 
30 (& + Б)у
Если К, —а> 0, характер решений не изменится, но средние
(стационарные состояния будут другие):