136 
Глава 4
Этот эффект хорошо знаком речникам. Практика судовождения
показала, что при сильном ветре, направленном по течению реки,
проводка судов возможна. Ветер такой же скорости на встречном
течении 
формирует 
крутые и высокие 
волны, 
делающие
невозможным проводку судов.
Волны на пространственно неоднородном течении. Рас-
смотрим 
распространение 
волн 
на 
стационарном 
простран-
ственно неоднородном течении. Скорость течения считается
неизменной по вертикали. Пусть волны распространяются в том
же 
направлении, 
в 
котором 
имеется 
градиент 
скорости.
Вследствие стационарности процесса частота волн в непод-
вижной системе координат будет неизменной. Из уравнения
сохранения волн следует:
@(К) + КОС)= а = соп5!, 
(4.6.3.1)
где @% — частота волн на потоке в точке (7= 0, а&) — частота
волн в сопровождающей системе координат, т.е. в системе
координат движущейся со скоростью потока. Используя @ = сй
выражение (4.6.3.1) запишем в виде:
Кс + 0(с)) = Лосо. 
(4.6.3.2)
Применяя уравнение для фазовой скорости гравитационных
волн на глубокой воде с = (#/)'?, со = (#/Ю)”? выражение
(4.6.3.2) трансформируется в квадратное уравнение для (с/со)?
` (с/со)? = Ко/К = с/со + са . 
(4.6.3.3)
Н
Решение (4.6.3.3) имеет вид:
(с/со)= 2 + М201+4со)?. — (4.6.3.4)
Из (4.6.3.4) следует, что волны не распространяются в
область | / > с/4. В критической точке скорость течения равна и
противоположно направлена групповой скорости волн. Таким
образом, в этой точке групповая скорость волн обращается в
ноль. Эта критическая точка называется точкой блокировки, 
в
ней происходит не только остановка волн, но и ее отражение —
волны начинают распространяться в другую сторону. Именно
этой отраженной (или обратной волне) волне соответствует знак
минус в уравнении (4.6.3.4). Знак плюс соответствует прямой
волне. Дисперсионное соотношение для гравитационных волн на
встречном 
течении 
показано 
на 
рис. 
4.6.4. 
Частоте 
@%
соответствуют две волны, бегущие влево. Фазовые скорости волн
ТЕРМО-ГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ОЗЕРАХ 
137
имеют одинаковое направление,
а — групповые — — — противо-
положное. Для волны / (частота
равна @, волновое число равно
К) групповая скорость болыше
нуля. Для волны 2 (частота равна
® волновое число 
равно &)
групповая скорость отрицатель-
ная. Волна / является прямой
или падающей волной, волна 2
является обратной или отражен-
ной. Следует отметить, что про- 
Рис. 4.6.4. Дисперсионное соотно-
должительное время неоднознач- — шение для гравитационных волн
ность решения (4.6.3.4) игНо- — на встречном течении. Б — точка
рировалась, считалось, что реше- 
блокировки: / — прямая волна
ние со знаком минус не имеет — (с;>0), 
2 — отраженная волна
физического — смысла. 
— Однако
экспериментальные — исследования — доказали — реальность
отраженных волн.
Из (4.6.3.3) и (4.6.3.4) следует выражение для изменения дл-
ины волны на неоднородном течении:
мм = М4 1 + (1 + 4со)?)?.. 
(4.6.3.5)
Изменение амплитуды или высоты волны можно получить из
уравнения сохранения волнового действия, которое вследствие
стационарности принимает вид:
ФДЕ((О+ с;)/а)/ах = 0,
где Е плотность ВОЛНОВой энергии, с, — групповая скорость
волны.
Для гравитационных волн на глубокой воде уравнение сохра-
нения волнового действия принимает вид: 
‚
Е(0+ с/2)? = Ео со’ 12 = сопв, 
(4.6.3.6)
откуда получаем изменение амплитуды:
аао = с / [с(с +20)]^. 
(4.6.3.7)
В выражениях (4.6.3.6) и (4.6.3.7) Е, ао соответствуют
плотности энергии и амплитуде волн при (7= 0.