112 
Глава 4
называемой частотой Вяйсяля-Брента, или частотой плавучести.
Частота Вяйсяля-Брента является предельной для внутренних
гравитационных волн.
При исследовании свободных внутренних волн уравнение для
гармонической во времени и пространстве волны имеет вид: 
_
и=С, ехр[і(а)г—/сх—пу)]. 
(4.5.11)
Взаимодействие внутренних и поверхностных волн делает
внутренние волны «видимыми» по их проявлениям на повер-
хности и дает возможность оценить параметры внутренних волн
дистанционными методами. 
‚ 
`
Уравнение для вертикальной составляющей скорости и› при 
-
исключении бета-эффекта (из-за небольших размеров озер)
запишем в виде:
д ‚ No дн ‚ е(м? -е?)
д22 
# 
д2 
т2 _ /-2
Если оценить порядок членов в уравнении (4.5.12), то можно
убедиться, что второй член в этом уравнении намного меньше
первого и третьего. Такое приближение соответствует прибли-
жению Буссинеска, при котором в уравнениях движения для
горизонтальных координат полагают 1/р ® 1/р -
При решении уравнения (4.5.12) ставят следующие гранич-
ные условия: .
1) на поверхности уи=() — условие „жесткой крышки”, ,
которое отфильтровывает поверхностные волны;
2) на дне озера у/=0 — условие непротекания.
В 
этом 
случае 
уравнение 
(4.5.12) 
представляет 
собой
линейное однородное уравнение второго порядка с переменными
коэффициентами М = No(г). Это уравнение решают обычно при
простых аппроксимациях распределения частоты No(2) по глу-
бине. Например, при No(2) = сопе!, что соответствует экспонен-
циальному увеличению плотности воды с глубиной, решение
`уравнения (4.5.12) имеет вид: 
`
у = 0. 
(4.5.12)
» = С|ехр(дг) 
+ С, ехр(1г), 
(4.5.13)
где / , — корни характеристического уравнения
ТЕРМО-ГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ОЗЕРАХ 
НЗ
No +а
а -/?
Из уравнения (4.5.13) следует, что [ может быть мнимым
числом только при условии:
]]‚2 == іі
Ш > 0. 
(4.5.14)
о2 — ]2
Уравнение (4.5.14) определяет — условия существования
внутренних волн. 
.
С учетом граничного условия на поверхности С, =С, произ-
ведем некоторые преобразования уравнения (4.5.12), тогда
‚ 
Иг2
у = 2С|5! —› 
(4.5.15)
Н
где л/Н вертикальное волновое число т ; { — номер моды вну-
тренней волны, который показывает количество экстремумов в
вертикальном распределении у’. Например, для первой моды
между поверхностью и дном озера укладывается половина волны
с максимумом на глубине г = Н/2.
В более строгой математической постановке решение
уравнения (4.5.12) сводится к задаче на отыскание собственных
значений и собственных функций и к построению обобщенного
ряда Фурье по системе этих функций.
Дисперсионное уравнение, определяющее вид свободных
внутренних волн в озерах, имеет вид:
2 =я 
+М и 
(4.5.16)
т +п
Уравнение (4.5.16) описывает инерционно-гравитационные
волны. Если период волн меньше инерционного г 
„› ТО условие
существования внутренних волн будет следующим:
о<М. 
(4.5.17)
Уравнение (4.5.16) показывает, что внутренние волны ©
частотой болыше No не могут существовать.
При т? >> п? (что выполняется для нескольких первых мод),
@
А2 >> Н? и развиваются длинные инерционно-гравитационные
волны в виде волн Пуанкаре