Если раскрыть определитель, записанный в левой части этого
уравнения, то получится многочлен р-й 
степени относительно не-
известной Л:
No -на М1 а, М —* .. -Рар-а ^ ар=0.
Этот многочлен, называемый характеристическим многочленом,
имеет р корней , 
М, ..., Л/р‚ которые и называются собственными
значениями матрицы Ё’. Условие сходимости метода будет выпол-
нено, если максимальное по модулю собственное значение матрицы
будет меныше единицы
тах 
| ; | < 1.
ё
Однако этот способ определения сходимости довольно сложен.
На практике чаще используют легко проверяемый способ, приве-
денный в $ 49. В рассматриваемом случае он за ключается в следую-
щем. 
Ё
Вычислим сумму модулей элементов каждой строки матрицы Ё”:
С, == 1 дЬ/да, |--1ду,/да, |-- .. . -/ 
/дар ;
С, == д|,/да, |-| дЪ/дд» |-...--|д&/дор ;
Ср=| дГр/да 
|--| дЕр/да, |--... 
+ | д!р/дар! .
Из полученных чисел выберем макси мальное:
С== тах 
(С).
17 <р
Величина С дает оценку нормы матрицы Ё'. Можно утверждать,
что если С < 1, то метод Лобачева—Кросса сходится. ` Для ИСХод-
ной системы уравнений (Х111.23) условия сходимости можно запи-
сать в виде системы неравенств (Х111.15). Напомним, что члены,
стоящие на главной диагонали (величины А,,), являются суммой
величин В548—! по всем участкам Ё-го кольца, а Аы — есть сумма
этих же величин по общим участкам ЁА-го и /-го колец.
Следует отчетливо представлять, что все приведенные оценки
сходимости носят лишь приближенный характер. Это обусловлено
прежде всего тем, что при выводе этих оценок использовались неко-
торые допущения, а именно:
1) исследование 
сходимости проводилось в линейном прибли-
жении. Это означает, что в случае когда начальное приближение
значительно отличается от точного решения, результаты практичес-
кого счета могут на первых итерациях сильно отличаться от предска-
заний линейной теории сходимости. Процесс может быть сходящим-
ся там, где по линейной теории он расходится, и наоборот. В то же
время в случае когда уже проведено достаточное число итераций и
распределение расходов по участкам сети близко к точному реше-
нию (либо когда начальные расходы сразу за даны достаточно близ-
кими к истинным), условия линейной теории сходимости достаточно
хорошо описывают реальную ситуацию;
2) используется величина С, введенная ранее, которая дает лишь
приближенную оценку сходимости;
238