му» корню х\;——— 1 (при других х( из этого же отрезка), «перепры-
гивая» через корень х — 0.
Изложенный выше метод Ньютона реализован во многих прог-
раммах для ЭВМ разных типов, причем, как правило, программы
используют так называемый модифицированный метод Ньютона.
При применении обычного 
метода - Ньютона большую часть вре-
мени занимает вычисление матрицы коэффициентов при неизвест-
ных системы (Х111.20). Идея модифицированного метода заключа-
ется в том, что матрица коэффициентов считается не на каждом шаге
последовательных приближений, а лишь через определенное число
шагов. Причем при вычислении поправок Ад;, определяемых из
линейной системы (Х111.20), значения коэффициентов при неизвест-
ных этой системы считаются постоянными, что позволяет эффектив-
но экономить машинное время при решении нелинейных систем вы-
сокого порядка, левые части которых вычисляются достаточно слож-
но.
Выше для решения линейных систем были приведены два итера-
ционных метода (метод простой итерации и метод Зейделя), которые
используют формулы (Х 111.13) и (Х111.16). Указанные методы могут
быть применены и для решения систем нелинейных уравнений. При
этом в правой части итерационных формул (Х1!.13) и (Х1!1.16)
будут уже нелинейные функции #; (Х, Ха» -.-› Хп). Эти методы схо-
дятся медленнее метода Ньютона, но зато не требуют вычисления
производных.
Надо отметить, что универсальных методов, удобных для реше-
ния любых задач, не существует. На практике для каждой конкрет-
ной задачи должен быть выбран тот метод, который в данном случае
дает - лучшую сходимость и достаточно прост в реализации.
До сих пор вкратце рассматривались вопросы численного реше-
ния систем линейных и нелинейных уравнений 
общего вида, что
имело целью дать самое общее представление о решении задач тако-
го типа на ЭВМ. Вопросы же численного решения систем (Х11.1),
(Х111.2) рассматривались лишь в самых общих чертах. Конкретное
приложение рассмотренных выше методов и приемов для расчета
водопроводных сетей приводится далее.
$ 50. Методы минимизации функции многих переменных
Математическая модель задачи расчета водопроводной сети мо-
жет быть сформулирована как задача отыскания безусловного (или
условного) минимума некоторой специальным образом построенной
выпуклой* функции. Чаще всего так формулируется задача тех-
нико-экономического расчета гидравлической сети. Здесь ищется
минимум выпуклой функции многих переменных (неизвестными
* Функция / {х) называется выпуклой, если для любых переменных х1,ХЖо
й)х + (1 — No ха] << М () + (1 — ^) 
Ё (хо) (0 < ^ 
1). 
Геометрически
это означает, что любая точка, прииадлежащая хорде, проходящей через
точки М, (ха; Ё (2а)1 
и М; (хо, Г (хэ)], находится выше точек, 
принадлежа-
щих графику Функции Ё (х) между теми же точками.
231