приближений к другому. В то же время 
коэффициенты системы
(Х111.21) постоянны и не меняются от итерации к итерации. Этот
факт дает возможность использовать систему (Х111.21) для исклю-
чения части неизвестных Ад;. Эта идея положена в основу приема
уменышения неизвестных в системе уравнений (Х111.20), (ХП1.21),
предложенного В. Г. Лобачевым.
Определив из системы (ХПП1.21) компоненты Ад; вектора Ад,
получим вектор д° = 0(%) -- Ад, являющийся следующим прибли-
жением для искомого решения системы (ХП1.1), (Х11.2). Теперь
можно взять в качестве начального приближения вектор (`?) и повто-
рить описанную выше процедуру. Процесс будет считаться закон-
ченным и решение найденным с заданной точностью, если после оче-
редного /-го шага потери напора удовлетворяют условию:
| АН |=-| Е (9°)) | < ..
Вектор д') будет приближенным решением системы (Х 11.18).
Проиллюстрируем важность правильного задания начального
приближения в методе Ньютона и ситуации, которые здесь могут
возникнуть, на простом примере одного уравнения:
Е к) = х —х=0. 
(ХШ.29)
Очевидно, что корнями этого уравнения будут значения: х =
== —1, х» = 0, ха = 1. Посмотрим, к каким из этих корней будет
сходиться итерационный процесс метода Ньютона при задании раз-
личных начальных приближений. Пусть х(%?— начальное приближе-
ние, а х“®?) — п-е приближение, получаемое по формуле Ньютона
х(®) =ж(п— ) — в („(п—))) ’ 
(„(7—1)).
° Рассмотрим различные интервалы задания Х';
1) х(® < —/3/3— 
в этом случае метод Ньютона сходится к пер-
вому корню х == — 1, т. е. х(®) —> — 
1 при л —> со;
2) х( 
> у 3/3—здесь х‘?-> 1 при п — со, т. ©. метод сходится
к третьему корню;
3) |х)| < // Ы/Б — в этом случае х( —> 0;
4) х(° = 
1/5/5——при задании таких начальных значений ме-
тод Ньютона «зацикливается»: 
последовательные — приближения
принимают значения У/ Ы5 и — )/ 5/5, метод не сходится;
5) У/ 5/5 < |х(0| << //3/3 — в этом случае в зависимости от х(
итерационный процесс может сходиться либо к ха =1, либо к Х, ==
== — 1, но может попасть и в точку х(®) 
— + 
3/3, в которой про-
изводная ’ 
(х), стоящая в знаменателе, обратится в нуль.
Проанализируем полученные результаты. В первых трех случа-
ях корень, к которому сходится итерационный процесс, лежит в том
же интервале, в котором задается начальное приближение, и такая
ситуация представляется довольно естественной. В пятом случае
итерационный процесс ведет себя не так. При некоторых х(°), лежа-
щих, например, на отрезке — }/3/3 << х® << —)/5/5, процесс мо-
жет сходиться как к «близкому» корню х == — 1, так и к «далеко-
230