Сходимость метода Якоби зависит от вида функций / »» --› л-
Вернее, она зависит от матрицы Р, составленной из частных произ-
водных этих функций:
6 
— дЪ 
д
дх, 
дх, 
°`° 
дхп
д 
дГь 
д/ь
Е’=|| 
дх,{ — дх, 
°`° 
дха
_ды _ ы 
_д!ы_
дх, 
дх, 
°° 
дха
Для линейной системы уравнений все функции }; (#== 1, 2, ..., 7)
являются линейными функциями, а значит Ё' является матрицей
коэффициентов, стоящих при неизвестных в правых частях уравне-
ний (Х11!1.11), т. е. совпадает с матрицей В. Для того чтобы итера-
ционный процесс сходился, необходимо и достаточно, чтобы модуль
максимального собственного значения матрицы В был меныше еди-
ницы.
Задача отыскания максимального собственного значения матри-
цы довольно сложна, поэтому для проверки сходимости итераци-
онного процесса на практике пользуются следующим простым до-
статочным условием: метод сходится, если сумма модулей элементов
каждой строки (или столбца) матрицы Ё' (а значит и В) меныше еди-
ницы, т. е. если имеется следующая система неравенств*:
| ала/ ада | - | азз/ ацу -Е. + —- ап аяа 1 < 1
| а1/ да |-+-| 
оз боз | 
-- .. - | аоп аоа | < 1;
| ала апп |-- апа апп |--... 1 ап.п—1/апп | < !,
Эту систему неравенств можно переписать таким образом:
[ аза |--1 ааз [-Р .. + -Г азт | < М ана |; 
]
[ ба |--| оз |-- - .. --] дот | < 
| 
оз |; 
(хШ.15)
| апя |--1 ап» |-- .. . —Т ап, п—а ! < | апп 
|.
Условие (Х 11.15) означает, что диагональные элементы каждой
строки матрицы А исходной системы (Х111.10) по модулю больше
суммы модулей остальных элементов этой строки. В этом случае го-
ворят, что матрица А имеет диагональное преобладание.
Итак, чтобы метод простой итерации сходился, достаточно, что-
бы матрица А коэффициентов при неизвестных в исходной системе
уравнений (Х111.10) имела диагональное преобладание.
Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что
вычисления ведутся не по итерационным формулам (Х 11.13), а по
следующим формулам:
* Вообще говоря, здесь надо поставить знак «<<», причем хотя бы одио
из неравенств должно быть строгим.
227