Идея метода Гаусса заключается в том, что исходная система с помощью эквивалентных преобразований, не изменяющих ее ре- шения, сводится к системе уравнений, имеющих верхнюю треуголь- вую матрицу: иц ха аз ба Е .. о -Е ба,тна ХпатЕ оп Хп — 6; ига Ха ... -В Из,т —а Хт-а"| ио‚п п = ; ил—л, п-1 хп-17Г Ип-а,п хп=Ь’‚’;__1; Ип,п Х1 — ЬЁ. Решение последней системы может быть легко найдено. Дейст- вительно, из последнего уравнения определяем х,. Подставляя зна- чение х, в предпоследнее уравнение, найдем из него Хд-1- Идя таким образом в треугольной системе снизу вверх, мы последовательно оП- ределяем значения искомого решения Хлд» Хд-а +--» Ха› Х- Сведение исходной системы (Х111.10) к системе с треугольной матрицей на- зывается прямым ходом метода Гаусса, а определение решения тре- угольной системы-- обратным ходом. Обратный ход осуществляет- ся просто и не требует пояснений. Прямой ход осуществляется сле- дующим образом. На первом этапе во всех уравнениях, кроме пер- вого, исключается переменная х,. Для этого из второго, третьего, ‚..› й-го уравнения вычитается первое уравнение, умноженное на коэффициент, подобранный таким образом, чтобы коэффициент при х, во всех этих уравнениях после вычитания был равен нулю. В по- лученной после такого преобразования системе в первом столбце матрицы все элементы, кроме первого, будут равны нулю. На сле- дующем этапе исключается величина х» во всех уравнен иях, кроме первого и второго. Таким образом производится последовательное исключение переменных в уравнениях (Х111.10). В результате все коэффициенты преобразованной матрицы, лежащие ниже главной диагонали, будут равны нулю и, следовательно, матрица примет треугольный вид. Метод Гаусса является очень экономным с точки зрения числа требуемых операций для нахождения решения системы. Например, для решения системы и уравнений с л неизвестными необходимо выполнить около (1/З)п° операций. Для сравнения отметим, что из- вестный способ решения систем линейных уравнений с помощЩЬю отношения определителей (правило Крамера) требует около й - п! операций и поэтому его применение при сколько-нибудь болыших п абсолютно исключается, даже при использовании ЭВМ. Метод Гаусса применяется в различных вариантах, которые алгебраически тождественны, но отличаются способом хранения коэффициентов матрицы системы, порядком исключения переменных, способами «борьбы» с погрешностями округления. Существует болышое число стандартных программ, реализующих различные модификации это- го метода, как общие, так и для матриц специального вида, имею- щих много нулевых коэффициентов (практически такой набор стан- дартных программ есть у _ каждой вычислительной машины). На средних машинах «Минск- 32», ЕС-1022 и ЕС-10338 без использования внешней памяти можно решать общие линейные системы, число 223