Глава 6. Теоретические основы и методы гидравлических расчетов 
73
Для решения систем нелинейных уравнений широко используется
метод Ньютона и его многочисленные модификации. Основа этих ме-
тодов сведится к тому, что предварительно задают значения неизвест-
ных с]„-о_‚г (возможно более близкие к их истинным значениям) и значе-
ния расходов в уравнениях 
(111.4) 
заменяют через а?_‚г --Ад:-к, где
Ад:-—. 
— искомая поправка к первоначально принятым значениям неиз-
вестных.
Производя в системе (П1.4) указанную подстановку и расклады-
вая в ряд все функции Ё (ограничиваясь линейными членами разложе-
ния) 
, получим;
ОЕ 
ОЁ 
ОЕ
Е, 
(а1» 99»...›9%) - (—1Аа -- —- 
4 +...+——1Аа)=о; 
)
1 (41 92 
Ч;) 
да 
1 
да» 
2 
да 
Ё
дЕ 
ОЕ 
ОЁ
о 
0 
0 
2 
® 
2 
л.
РЁ (ЧЁ, ЧЁ+1"",Чі) + (даё АЧЁ + д(]ё+1 АЧ&+1+.-.+ д[]; АЧ]) “01 
(111.48)
дЕ 
ОЕ 
ОЕ 
|
0 
0 
0 
й 
п 
—
Е„ (т› т› -›р) —- ((Ё н 7Е оана АбтнНСР НЕ оЬ, Ачр) =0. 
;
Здесь первый член каждого уравнения представляет собой ту же
функцию, что и в уравнениях (111.4), но при подстановке в нее принятых
значений расходов др-к , Т. ©. все первые члены полученных уравнений
представляют собой алгебраическую сумму («невязку») потерь напора
в каждом из л колец сети для первоначального распределения расходов:
хи'= 55(0 
) = АЙ и являются величинами известными.
Неизвестными являются поправки Ад:-к. Коэффициентами при них
служат величины ОЁ)/дд:-к, т. е. частные производные функции Ё для
соответствующего кольца по соответствующему переменному :;-». При
подстановке значений су?__‚г эти коэффициенты будут иметь вид В$:-к х
х (91_, )? . Таким образом, все коэффициенты при неизвестных А4 
;-
могут быть вычислены. 
‚
Следовательно, мы получили вместо системы л нелинейных урав-
нений для д@:-к систему л линейных уравнений для Ад;-» 
— поправок
0 
°
к первоначально заданным расходам ;-& :
А -- Вв, (а )5'а -- В5, (ЧЗ)В_] Адо--.-НВ5, (Ч(;))БЧАЧ‚: =0;
Ал, -- Вс, 4) ‘Аа, 
-- Веаа (бена)? ' Ааеаа -ЕВ () 
'Аа == ; 
( .46)
АН„—{— Бзт(Ч%)В—іАчт + 65т+1 (‘721-!-;)6 - АЧт+1+"'+ВЗр(ЧЗ)В_1АЧР= 0.
—н 
нн 
— 
—
Эта система уравнений должна решаться при одновременном удов-
летворении — 
1 уравнений (111.2).
Решение систем линейных уравнений может, как известно, произ-
водиться различными способами, но для многокольцевых сетей пред-
ставляет весьма громоздкую процедуру, требующую большого объема
вычислительной работы.
Широко используются методы последовательного приближения с
применением различных 
приемов отыскания 
неизвестных на каждом
шаге приближения.